Nierówności liniowe z jedną niewiadomą

Nierówności liniowe z jedną niewiadomą wyglądają podobnie do równań liniowych z jedną niewiadomą, ale zamiast znaku równości zawierają jeden ze znaków nierówności: ostrej (<, >), nieostrej ($\geq$, $\leq$) lub znak różności ($\neq$). W nierówności liniowej niewiadoma (oznaczana zwyczajowo jedną z ostatnich liter alfabetu) występuje w pierwszej potędze. Zatem nierówność liniowa z jedną niewiadomą przyjmuje często którąś z poniższych postaci lub łatwo da się do niej sprowadzić:

ax + b $\neq$ 0,

gdzie x jest niewiadomą, zaś a i b to dane współczynniki liczbowe, przy czym a ≠ 0.

Przykłady

• 2x + 1 ≤ 0
• 5x > 0
• -17x + $\frac{1}{3}$ ≥ 0
• 3x ≠ (-12)
• 0,(6) - 0,25x < 0
• $-\sqrt{7}$ < 123y + 9 (tu niewiadoma oznaczona jest przez y)
• 14(1 - 9x) > 99x - 154 + 11
• 5x ≤ 5x
• 1 + x ≠ x + 1
• 0,5x - 9 ≥ 3² + $\frac{1}{2}$x

Kontrprzykłady

• -3x - 1 = 0 (to nie jest nierówność)
• 1 < 12x + 7 ≤ 2 (to nie jest nierówność, ale układ nierówności)
• x² ≥ 36 (to nie jest nierówność liniowa)
• $\frac{1}{3x}+\frac{1}{19}<0$ (to nie jest nierówność liniowa)
• -0,17 > 17 (to nie jest nierówność liniowa)
• |5x + 2| ≤ 52 (to nie jest nierówność liniowa)
• 45x + 0,5y- 45 ≥ 0 (to nie jest nierówność z jedną niewiadomą)

Pierwiastki i rozwiązanie nierówności

Każdą liczbę, która spełnia nierówność, to znaczy podstawiona w miejsce niewiadomej dają nierówność arytmetyczną prawdziwą, nazywamy pierwiastkiem tej nierówności, a zbiór wszystkich pierwiastków, czyli zbiór wszystkich liczb spełniających daną nierówność, nazywamy rozwiązaniem nierówności. Jeśli nierówność nie ma pierwiastków (np. x > x+1), mówimy że jej rozwiązaniem jest zbiór pusty. Na przykład liczba 3 spełnia nierówność x > 2, więc jest pierwiastkiem tej nierówności, a liczba 1 tej nierówności nie spełnia, więc nie jest pierwiastkiem nierówności. Ta nierówność ma nieskończenie wiele pierwiastków. Jej rozwiązaniem jest zbiór stanowiący przedział liczbowy (2, $\infty$).

Pierwiastkiem nierówności z jedną niewiadomą (o ile taki pierwiastek w ogóle istnieje) jest liczba, a rozwiązaniem nierówności jest zbiór liczb (nawet jeśli nie zawiera żadnej liczby, tzn. jest zbiorem pustym).

Pamiętaj: nierówność może mieć nawet nieskończenie wiele pierwiastków, ale zawsze ma tylko jedno rozwiązanie.

Typy nierówności liniowych z jedną niewiadomą

Nierówność liniowa z jedną niewiadomą może mieć nieskończenie wiele pierwiastków, albo nie mieć żadnego pierwiastka. Rozwiązanie nierówności może być jednym z następujących rodzajów zbiorów:

• zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych, czyli całą prostą (przedziałem obustronnie nieograniczonym),
• zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych bez jednej liczby, czyli prostą bez jednego punktu,
• przedziałem prawo- lub lewostronnie nieograniczonym, czyli półprostą,
• zbiorem pustym.

Dlatego wyróżniamy trzy typy nierówności liniowych z jedną niewiadomą.

• nierówność tożsamościowa - jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste, jej rozwiązaniem jest zbiór R, np. 7x + 3 ≤ 7x + 3
• nierówność sprzeczna - nie jest spełniona przez żadną liczbę rzeczywistą, jej rozwiązaniem jest zbiór pusty, np. 2x-4 > 2x+2
• nierówność nieoznaczona - ma nieskończenie wiele pierwiastków, ale nie są nimi wszystkie liczby rzeczywiste, np. 3x+6 < 0 - rozwiązaniem jest przedział ($-\infty$, -2) lub 3x $\neq$ 6 - rozwiązaniem jest zbiór R\{2}.

Rozwiązywanie nierówności liniowych z jedną niewiadomą

Jeśli nierówność można doprowadzić do jednej z postaci ax+b > 0, ax+b ≥ 0, ax+b < 0, ax+b ≤ 0 lub ax + b ≠ 0 (gdzie a ≠ 0), to jest ona oznaczona, a do jej rozwiązania stosujemy jeden z poniższych schematów.

ax+b > 0, dla a>0

• od obu stron nierówności odejmujemy tę samą liczbę b

ax + b > 0 /-b

ax > -b

• obie strony nierówności dzielimy przez tę samą liczbę a, bo jest różna od zera, oraz pozostawiamy wtedy znak nierówności bez zmiany, bo a jest dodatnia

ax > -b /:a

x > $-\frac{b}{a}$

• Pierwiastkiem tej nierówności jest każda liczba większa od $-\frac{b}{a}$.
• Rozwiązaniem jest przedział ($-\frac{b}{a}$, $\infty$).

ax + b > 0, dla a < 0

• od obu stron nierówności odejmujemy tę samą liczbę b

ax + b > 0 /-b

ax > -b

• obie strony nierówności dzielimy przez tę samą liczbę a, bo jest różna od zera, oraz zmieniamy wtedy znak nierówności na przeciwnie skierowany, bo a jest ujemna

ax > -b /:a

x < $-\frac{b}{a}$

• Pierwiastkiem tej nierówności jest każda liczba mniejsza od $-\frac{b}{a}$.
• Rozwiązaniem jest przedział ($-\infty$, $-\frac{b}{a}$).

ax + b ≥ 0, dla a > 0

• od obu stron nierówności odejmujemy tę samą liczbę b

ax + b ≥ 0 /-b

ax ≥ -b

• obie strony nierówności dzielimy przez tę samą liczbę a, bo jest różna od zera, oraz pozostawiamy wtedy znak nierówności bez zmiany, bo a jest dodatnia

ax ≥ -b /:a

x ≥ $-\frac{b}{a}$

• Pierwiastkiem tej nierówności jest każda liczba większa lub równa $-\frac{b}{a}$.
• Rozwiązaniem jest przedział [$-\frac{b}{a}$, $\infty$).

ax + b ≥ 0, dla a < 0

• od obu stron nierówności odejmujemy tę samą liczbę b

ax + b ≥ 0 /-b

ax ≥ -b

• obie strony nierówności dzielimy przez tę samą liczbę a, bo jest różna od zera, oraz zmieniamy wtedyznak nierówności na przeciwnie skierowany, bo a jest ujemna

ax ≥ -b /:a

x ≤ $-\frac{b}{a}$

• Pierwiastkiem tej nierówności jest każda liczba mniejsza lub równa $-\frac{b}{a}$.
• Rozwiązaniem jest przedział ($-\infty$, $-\frac{b}{a}$].

ax + b < 0, dla a > 0

• od obu stron nierówności odejmujemy tę samą liczbę b

ax + b < 0 /-b

ax < -b

• obie strony nierówności dzielimy przez tę samą liczbę a, bo jest różna od zera, oraz pozostawiamy wtedy znak nierówności bez zmiany, bo a jest dodatnia

ax < -b /:a

x < $-\frac{b}{a}$

• Pierwiastkiem tej nierówności jest każda liczba mniejsza od $-\frac{b}{a}$.
• Rozwiązaniem jest przedział ($-\infty$, $-\frac{b}{a}$).

ax + b < 0, dla a < 0

• od obu stron nierówności odejmujemy tę samą liczbę b

ax + b < 0 /-b

ax < -b

• obie strony nierówności dzielimy przez tę samą liczbę a, bo jest różna od zera, oraz zmieniamy wtedy znak nierówności na przeciwnie skierowany, bo a jest ujemna

ax < -b /:a

x > $-\frac{b}{a}$

• Pierwiastkiem tej nierówności jest każda liczba większa od $-\frac{b}{a}$.
• Rozwiązaniem jest przedział ($-\frac{b}{a}$, $\infty$).

ax + b ≤ 0, dla a > 0

• od obu stron nierówności odejmujemy tę samą liczbę b

ax + b ≤ 0 /-b

ax ≤ -b

• obie strony nierówności dzielimy przez tę samą liczbę a, bo jest różna od zera, oraz pozostawiamy wtedy znak nierówności bez zmiany, bo a jest dodatnia

ax ≤ -b /:a

x ≤ $-\frac{b}{a}$

• Pierwiastkiem tej nierówności jest każda liczba mniejsza lub równa $-\frac{b}{a}$.
• Rozwiązaniem jest przedział ($-\infty$, $-\frac{b}{a}$].

ax + b ≤ 0, dla a < 0

• od obu stron nierówności odejmujemy tę samą liczbę b

ax + b ≤ 0 /-b

ax ≤ -b

• obie strony nierówności dzielimy przez tę samą liczbę a, bo jest różna od zera, oraz zmieniamy wtedy znak nierówności na przeciwnie skierowany, bo a jest ujemna

ax ≤ -b /:a

x ≥ $-\frac{b}{a}$

• Pierwiastkiem tej nierówności jest każda liczba większa lub równa $-\frac{b}{a}$.
• Rozwiązaniem jest przedział [$-\frac{b}{a}$, $\infty$).

ax + b ≠ 0

• od obu stron nierówności odejmujemy tę samą liczbę b

ax + b ≠ 0 /-b

ax ≠ -b

• obie strony nierówności dzielimy przez tę samą liczbę a, bo jest różna od zera

ax ≠ -b /:a

x ≠ $-\frac{b}{a}$

• Pierwiastkiem tej nierówności jest każda liczba różna od $-\frac{b}{a}$.
• Rozwiązaniem jest zbiór R\{$-\frac{b}{a}$}.

Przykłady

1) x > 0
Rozwiązanie
Pierwiastkiem nierówności jest każda liczba większa od 0.
Rozwiązniem jest zbiór (0, $\infty$).

2) 7x - 14 ≥ 0
Rozwiązanie
7x - 14 ≥ 0 /+14
7x ≥ 14 /:7
x ≥ 2
Pierwiastkiem nierówności jest każda liczba większa lub równa 2.
Rozwiązaniem jest zbiór [2, $\infty$).

3) 10x - 4 > 12x + 1
Rozwiązanie
10x - 4 > 12x + 1 /-12x
-2x - 4 > 1 /+4
-2x > 5 /:(-2)
x < $-\frac{5}{2}$
x < $-2\frac{1}{2}$
Pierwiastkiem nierówności jest każda liczba mniejsza od $-2\frac{1}{2}$.
Rozwiązaniem jest zbiór ($-\infty$, $-2\frac{1}{2}$).

4) 1,25 - 0,55x ≤ 1,55(1 - x)
Rozwiązanie
1,25 - 0,55x ≤ 1,55(1 - x)
prawa strona: wykonujemu mnożenie
1,25 - 0,55x ≤ 1,55 - 1,55x /-1,25
-0,55x ≤ 0,3 - 1,55x /+1,55x
x ≤ 0,3
Pierwiastkiem nierówności jest każda liczba mniejsza lub równa 0,3.
Rozwiązaniem jest zbiór ($-\infty$; 0,3].

5) $\sqrt{5} \neq \frac{1}{\sqrt{5}}-x$
Rozwiązanie
$\sqrt{5} \neq \frac{1}{\sqrt{5}}-x$ /-$\frac{1}{\sqrt{5}}$
$\sqrt{5}-\frac{1}{\sqrt{5}} \neq (-x)$
lewa strona: usuwamy niewymierność w odjemniku, mnożąc licznik i mianownik przez $\sqrt{5}$
$\sqrt{5}-\frac{\sqrt{5}}{5}\neq (-x)$
lewa strona: wykonujemy odejmowanie
$\frac{4\sqrt{5}}{5}\neq (-x)$ /$\cdot$(-1)
$-\frac{4\sqrt{5}}{5}\neq x$
Pierwiastkiem nierówności jest każda liczba różna od $-\frac{4\sqrt{5}}{5}$.
Rozwiązaniem jest zbiór R\{$-\frac{4\sqrt{5}}{5}$}.

6) $\sqrt{5}-x\neq\frac{1}{\sqrt{5}}-x$
Rozwiązanie
$\sqrt{5}-x\neq\frac{1}{\sqrt{5}}-x$ /+$x$
$\sqrt{5}\neq\frac{1}{\sqrt{5}}$
prawa strona: usuwamy niewymierność, mnożąc licznik i mianownik przez $\sqrt{5}$
$\sqrt{5}\neq\frac{\sqrt{5}}{5}$
Pierwiastkiem nierówności jest każda liczba rzeczywista.
Rozwiązaniem jest zbiór R.

7) $\sqrt{5}-x\neq\sqrt{5}-x$
Rozwiązanie
$\sqrt{5}-x\neq \sqrt{5}-x$ /+$x$
$\sqrt{5}\neq \sqrt{5}$
Ta nierówność nie ma żadnego pierwiastka.
Rozwiązaniem jest zbiór pusty $\emptyset$.

8) 12(x + $\frac{1}{24}$) > 288(1 + $\frac{1}{24}$x)
Rozwiązanie
12(x + $\frac{1}{24}$) > 288(1 + $\frac{1}{24}$x)
wykonujemy mnożenia po obu stronach nierówności
12x + $\frac{1}{2}$ > 288 + 12x /-12x
$\frac{1}{2}$ > 288
Ta nierówność nie ma żadnego pierwiastka.
Rozwiązaniem jest zbiór pusty $\emptyset$.

9) x + 1 ≤ x + 1
Rozwiązanie
Ta nierówność jest równoważna nierówności 0 ≤ 0.
Każda liczba rzeczywista jest jej pierwiastkiem.
Rozwiązaniem jest zbiór R.

10) x - 2x + 3x - 4x - 5x + 6x - 7x + 8x < 1$\cdot$(-2)$\cdot$3$\cdot$(-4)$\cdot$(-5)$\cdot$6$\cdot$(-7)$\cdot$8
Rozwiązanie
x - 2x + 3x - 4x - 5x + 6x - 7x + 8x < 1$\cdot$(-2)$\cdot$3$\cdot$(-4)$\cdot$(-5)$\cdot$6$\cdot$(-7)$\cdot$8
lewa strona: redukujemy wyrazy podobne
prawa strona: redukujemy znaki
0 < 1$\cdot$2$\cdot$3$\cdot$4$\cdot$5$\cdot$6$\cdot$7$\cdot$8
Pierwiastkiem nierówności jest każda liczba rzeczywista.
Rozwiązaniem jest zbiór R.

11) $\frac{x+3x+...+17x+19x}{10}\geq 10x+0,0000001$
Rozwiązanie
$\frac{x+3x+...+17x+19x}{10}\geq 10x+0,0000001$ /$\cdot$10
$x+3x+...+17x+19x\geq 100x+0,000001$
lewa strona: redukujemy wyrazy podobne
$100x\geq 100x+0,000001$ /-$100x$
$0\geq 0,000001$
Ta nierówność nie ma żadnego pierwiastka.
Rozwiązaniem jest zbiór pusty $\emptyset$.

A teraz spróbuj sam

1) Wskaż nierówności liniowe z jedną niewiadomą. Dlaczego odrzuciłeś pozostałe?

• 17x + 18 = 35
  To nie jest nierówność.
• 17x < 18(x - 35)
  To jest nierówność liniowa z jedną niewiadomą.
• 17^x + 18 $\neq$ 35
  To nie jest nierówność liniowa.
• 3x(1 - 12x) $\geq$ 3(x - 12
  To nie jest nierówność liniowa.
• |(-31)¹²|x $\leq$ 0
  To jest nierówność liniowa z jedną niewiadomą.
• x^0,3 + 5^0,7 > (x + 5)¹
  To nie jest nierówność liniowa.
• 0,3 $\neq$ x $\neq$ 0,7
  To nie jest nierówność.
• x¹ - 2³ $\leq$ 45
  To jest nierówność liniowa z jedną niewiadomą.
• 0$\cdot$x + y < 0
  To nie jest nierówność z jedną niewiadomą.

2) Rozwiąż poniższe nierówności i podaj ich pierwiastki

• -3 + 6x < 5x + 6
  Pierwiastkiem nierówności jest każda liczba mniajsza od 9.
• 12(x + 4) $\neq$ 12x + 4
  Pierwiastkiem nierówności jest każda liczba rzeczyista.
• -(x + 1) > -x + 1
  Ta nierówność nie ma żadnych pierwiastków.
• 1 - 2x + 3 - 4x + 5 - 6x + 7 - 8x + 9 - 10x $\leq$ 25
  Pierwistkiem nierówności jest każda liczba większa lub równa 0.
• $\frac{x}{2+\frac{1}{2+1}}$ > $\frac{3}{2+\frac{1}{2+1}}$
  Pierwiastkiem nierówności jest każda liczba większa od 3.
• $\frac{1}{2}(x-0,5)-\frac{1}{3}(-x + 0,5)\neq \frac{1}{6}(-x - 0,5)$
  Pierwiastkiem nierówności jest każda liczba rzeczywista różna od $\frac{1}{3}$.
• $\frac{\sqrt{2}x+\sqrt{3}x}{\sqrt{6}}\geq \frac{2\sqrt{3}x+3\sqrt{2}x}{6}$
  Pierwiastkiem nierówności jest każda liczba rzeczywista.
• x² + 7 $\geq$ (x + 7)²
  Pierwiastkiem nierówności jest jażda liczba mniejsza lub równa -3.
• $x+\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}x+\frac{1}{8}x+...\neq 2x$
  Ta nierówność nie ma żadnego pierwiastka.