Ile słonecznik ma pestek? To zależy od gatunku słonecznika. Tu zbadamy 6 rodzajów słoneczników (czyli zielonych kół o środku w punkcie O i promieniu R), które mają nieskończenie wiele pestek. Zamiast liczyć pestki, będziemy obliczać ich łączne pole. W każdym przypadku interesować nas będzie odpowiedź na pytanie
jaka część pola zielonego koła jest wypełniona żółtymi pestkami,
czyli jaka jest wielkość
Poniżej prezentujemy kilkanaście zadań. Do niektórych dołączone są przykładowe rozwiązania. Zaskakujące jest, że w wielu z nich nie jest konieczne obliczanie wymiarów pestek oraz że można obejść się bez trygonometrii. Na końcu zebrane są trudniejsze i/lub żmudniejsze zadania.
n-słoneczniki I rodzaju
Poniżej są dwa przykłady n-słoneczników I rodzaju.
Zadanie I.6
Jaka część pola zielonego koła jest zamalowana na żółto?
Rozwiązanie
Dorysujmy okręgi (czerwone) o środku O dzielące tarczę słonecznika tak, że pestki o jednakowych wymiarach mieszczą się w pierścieniach wyznaczonych przez te okręgi.
W każdym pierścieniu stosunek pola pestek, do pola pierścienia
jest JEDNAKOWY. Zatem jest taki jak w całej tarczy, czyli:
Dalej wystarczy obliczyć ten stosunek w jednym (np. zewnętrznym) pierścieniu.
Trójkąt AOB jest równoramienny i kąt AOB ma 360o/6 = 60o, więc OA = 2r.
Stąd odpowiedź:
Zadanie I.4
Jaka część pola zielonego koła jest zamalowana na żółto?
Wskazówka
Zadanie to można rozwiązać podobnie jak zadanie I.6
Zadanie I.3
Jaka część pola zielonego koła jest zamalowana na żółto?
Wskazówka Zadanie można rozwiązać podobnie jak zadanie I.6
Popatrzmy na n-słoneczniki dla coraz większych wartości n.
Zadanie I.
Wydaje się, że dla coraz większych wartości n część pola zielonego koła zamalowana na żółto jest coraz większa, że rośnie, że zbliża się do jakiejś liczby. Do jakiej?
Rozwiązanie. Sposób 1
Połączmy odcinkami środki stykających się pestek.
Otrzymamy nieskończenie wiele czworokątów (trapezów równoramiennych).
Łącznie wypełniają niemal całą tarczę słonecznika (za wyjątkiem
otoczki zielonego okręgu, która, dla dużych wartości n, jest bardzo wąska, więc jej pole jest prawie równe 0).
Dla dużych wartości n owe czworokąty są prawie kwadratami.
W kwadracie o boku a cztery półkola o promieniu a/2
mają pole a2/4. Zatem zajmują a2/4 / a2 =
/4 pola kwadratu.
Zatem dla dużych wartości n, pestki zajmują prawie /4 pola tarczy słonecznika.
Rozwiązanie. Sposób 2
Licząc jak w rozwiązaniu zadaniu I.6, dla dowolnego n mamy:
Dla dużych wartości n iloczyn nr jest prawie równy połowie długości okręgu o promieniu OA. Dlaczego?
Stąd odpowiedź:
n-słoneczniki rodzaju I'
Poniżej widać cztery przykłady n-słoneczników rodzaju I'.
Zadanie I'. Wydaje się, że dla coraz większych wartości n część pola zielonego koła zamalowana na żółto jest coraz większa, rośnie tak, że niemal wszystko jest zamalowane na żółto, a iloraz pola żółtych kół do pola zielonego koła jest prawie równy 1. Czy to prawda?
Wskazówka
Połącz środki stykających się pestek.
Wygląda to tak:
Dalej wystarczy zmodyfikować sposób 1 rozwiązania zadania I..
n-słoneczniki II rodzaju
Poniżej są dwa przykłady n-słoneczników II rodzaju.
Zadanie II.6 Jaka część pola zielonego koła jest zamalowana na żółto?
Wskazówka Zadanie można rozwiązać podobnie jak zadanie I.6.
Zadanie II.8
Jaka część pola zielonego koła jest zamalowana na żółto?
Popatrzmy na n-słoneczniki dla coraz większych wartości n.
Zadanie II. Wydaje się, że dla dużych wartości n prawie połowa zielonego koła jest zamalowana na żółto. Czy to prawda?
Rozwiązanie Popatrzmy na wianuszek największych pestek i na wianuszek największych zielonych czworokątów. Te czworokąty mają pola mniejsze od pól (kwadratowych) pestek. Dlaczego?
Tak samo jest w następnej parze żółtych i zielonych wianuszków.
I w każdej następnej parze też jest tak samo.
Zatem pomijając zieloną część dotykającą brzegu tarczy, żółte pestki mają większe pole niż pozostała część tarczy.
Z drugiej strony pomijając pierwszy wianuszek pestek mamy:
wianuszek największych zielonych czworokątów ma większe pole od drugiego wianuszka żółtych pestek.
Drugi wianuszek zielonych czworokątów ma większe pole od trzeciego wianuszka żółtych pestek i tak dalej.
Zatem pomijając zieloną część dotykającą brzegu tarczy i pierwszy wianuszek pestek, żółte pestki mają mniejsze pole niż pozostała część tarczy.
Dla dużych wartości n wąskie otoczenie okręgu tarczy słonecznika ma pole prawie równe 0, zatem powyższe rozumowanie uzasadnia, że pestki stanowią niemal połowę tarczy słonecznika.
Zadanie to można też rozwiązać podobnie jak zadanie I. .
n-słoneczniki rodzaju II'
Poniżej widać cztery przykłady n-słoneczników rodzaju II'.
Zadanie II'. Wydaje się, że dla coraz większych wartości n część pola zielonego koła zamalowana na żółto jest coraz większa, że rośnie tak, że niemal wszystko jest zamalowane na żółto, a iloraz pola żółtych kół do pola zielonego koła jest prawie równy 1. Czy to prawda?
n-słoneczniki III rodzaju
Poniżej widać cztery przykłady n-słoneczników III rodzaju.
Zadanie III. Wydaje się, że dla coraz większych wartości n część pola zielonego koła zamalowana na żółto jest coraz większa, że rośnie tak, że niemal wszystko jest zamalowane na żółto, a iloraz pola żółtych kół do pola zielonego koła jest prawie równy 1. Czy to prawda?
Rozwiązanie Podziel każdy zielony czworokąt (deltoid) na dwa jednakowe trójkąty
prostokątne.
Każdy z tak powstałych trójkątów przesuń równolegle do jego dłuższej przyprostokątnej tak, by 'opadł' na największy żółty kwadrat.
Po takich przesunięciach cała zielona część mieści się w otoczeniu okręgu tarczy słonecznika wyznaczonym przez największy wianuszek pestek.
Ponieważ dla dużych wartości n to otoczenie jest bardzo wąskie, część zielona ma pole prawie równe 0.
To dowodzi, że dla dużych wartości n pole pestek jest prawie równe polu tarczy słonecznika.
n-słoneczniki rodzaju III'
Poniżej widać cztery przykłady n-słoneczników rodzaju III'.
Zadanie III'. Wydaje się, że dla coraz większych wartości n część pola zielonego koła zamalowana na żółto jest coraz większa, że rośnie tak, że niemal wszystko jest zamalowane na żółto, a iloraz pola żółtych kół do pola zielonego koła jest prawie równy 1. Czy to prawda?
Trudniejsze i/lub żmudniejsze zadania
Zadanie I'.6 Jaka część pola zielonego koła jest zamalowana na żółto?
Zadanie II'.6 Jaka część pola zielonego koła jest zamalowana na żółto?
Zadanie III.4 Jaka część pola zielonego koła jest zamalowana na żółto?
Zadanie III.6 Jaka część pola zielonego koła jest zamalowana na żółto?
Zadanie III'.4 Jaka część pola zielonego koła jest zamalowana na żółto?
Zadanie III'.6 Jaka część pola zielonego koła jest zamalowana na żółto?
Podczas wakacji rozgrywane są olimpiady międzynarodowe: Matema-tyczna w Australii, Informatyczna w Boliwii, Lingwistyczna na Tajwanie, Sztucznej Inteligencji w Chinach.
Czy podczas wakacyjnych wędrówek odkryliście jakąś atrakcję turystyczną związaną z matematyką? Pomnik, tablicę pamiątkową, kawiarnię, w której sformułowano słynne twierdzenie, ławeczkę z wyciętym wzorem, miejsce urodzenia, dom rodzinny lub grób jakiegoś znanego matematyka? Napiszcie, prześlijcie zdjęcie oraz lokalizację na adres mikolaj@math.uni.wroc.pl. Opublikujemy Wasz tekst na Portalu, aby i inni mogli to miejsce odwiedzić!
Zagadka miesiąca
Co to za matematyk
Bohater miesiąca
Matematyk przedstawiony w zagadce powyżej był bliskim przyjacielem sir Isaaka Newtona, zręcznym menadże-rem kopalni ołowiu, wynalazcą, jednym z ojców rewolucji przemysło-wej w Szkocji. Od jego nazwiska nazwano silnik, liczby oraz wzór.
Arcydzieło miesiąca
A ten gustowny czajnik do herbaty otrzymał od władz pewnego szkockiego miasta. Jest to (jak głosi grawerunek): A compliment made by the Town Council of Glasgow to X - mathematician - for his services, pains, and trouble in surveying the River towards deepening it by locks. 1st July 1752 Czajnik jest do dziś własnością rodziny. Jego koszt (co skrupulatnie odnotował skarbnik miasta) wyniósł £28, 4s. 4d. Czyli ile? Prezent został sfinansowany z pier-wszej raty kredytu, jaki w wysokości 10 mln. sterlingów miasto zaciągnęło na budowę portu morskiego (co wymagało m.in. pogłębienia rzeki Clyde).
Trójkąt AOB jest równoramienny i kąt AOB ma 360o/6 = 60o, więc OA = 2r.
a2/4. Zatem zajmują 
