Zad. 1. Liczby całkowite a, b, c, d spełniają warunek ad–bc = 1. Wykaż, że ułamek (a2+b2)/(ac+bd) jest nieskracalny.
Zad. 2. W pięciokącie wypukłym ABCDE bok AB jest prostopadły do CD, a bok BC jest prostopadły do DE. Ponadto |AB| = |AE| = |ED| = 1. Wykaż, że |BC| + |CD| < 1.
Zad. 3. Okrąg przecina hiperbolę o równaniu xy = 1 w czterech różnych punktach (pi, qi) dla i ϵ {1, 2, 3, 4}. Udowodnij, że p1p2p3p4 = 1.
Zad. 1. Niech m = NWD(a2+b2, ac+bd). Ponieważ (ac+bd)2+(ad–bc)2 = (a2+b2)(c2+d2), m musi dzielić (ad–bc)2 = 1. Wynika z tego, że m=1, czyli badany ułamek jest nieskracalny, cnd.
Zad. 2. Niech K będzie punktem przecięcia prostych AB i CD, a M - punktem przecięcia prostych BC i ED. Oznaczmy przez α miarę kąta BAE, przez β - miarę kąta DEA, a N niech będzie takim punktem na prostej BM,
że |BN|=|AB|=1. Niech S będzie punktem przecięcia prostych KD i AN. Wiemy, że α+β < 180°, Bez straty ogólności możemy założyć, że α< 90°. Mamy angle{BAN} = frac12 (180^circ - angle{ABN}) = frac{alpha + beta - 90^circ}{2}. Skoro angle{DAE} = frac{180^circ - beta}{2}, to angle{BAN} + angle{DAE} = frac{90^circ + alpha}{2} > α. Oznacza to, że D leży wewnątrz trójkąta ABN. W trójkącie CNS kąt CNS jest ostry, zaś NSC rozwarty, więc |CS|<|CN|. Stąd |BC|+|CD| < |BC|+|CS| < |BC|+|CN| = |BN| = 1.
Zad. 3. Niech punkt (a, b) będzie środkiem tego okręgu, a r jego promieniem. Wówczas cztery pary liczb podanych w zadaniu jako punkty, są
rozwiązaniami układu równań: [tex] (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 [/tex],
[tex] y = frac{1}{x} [/tex], stąd [tex]p_i[/tex] są rozwiązaniami równania: [tex] (x - a)^2 + (frac{1}{x} - b)^2 = r^2 [/tex]. Ponieważ [tex] p_i neq 0 [/tex], to przekształcamy to do równania czwartego stopnia [tex] x^2(x-a)^2 + (1 - bx)^2 - r^2x^2 = 0 [/tex]. Znamy cztery rozwiązania ([tex]p_1, p_2,
p_3, p_4[/tex]), zatem wiemy, że ten wielomian po lewej stronie
równości jest równy wielomianowi [tex] (x - p_1)(x - p_2)(x - p_3)(x -
p_4) [/tex] (liczby [tex]p_i[/tex] są parami różne). Na mocy twierdzenia
Viete'a [tex]p_1p_2p_3p_4 = 1 [/tex]
